Der „Massedefekt“

Hierbei handelt es sich um vier gesondert zu untersuchende Phänomene. Zum einen wurde bereits angedeutet, daß die Zentrifugal- und die Zentripetalkraft nicht betragsgleich sein können was später noch exakter gefaßt wird. Zweitens geht die Bewegung des umlaufenden Objektes bei der Flucht aus dem System von einer mit konstanter (Bahn-)Geschwindigkeit in eine durch das umgebende Medium gebremste Bewegung über. Drittens ergibt sich direkt eine Energiedifferenz aus dem noch zu ermittelnden Drehimpuls. Und viertens wurde bereits ein „Massedefekt“ für den Fall des Auftretens der Coriolis-Kraft gezeigt.

An dieser Stelle wird nun die Flucht des Objektes aus dem System untersucht. Die Energiedifferenz zwischen der Bewegung in der Bahn und der Bewegung nach der Flucht ist schlicht die Differenz der Energie einer geradlinig-gleichförmigen⁶ Bewegung nach [1] Gleichung (7) und einer Bewegung aus der Trägheit — ebd. Gleichung (6) — heraus: $\begin{array}{cccc}& E_a& =& c\sqrt{{m_0}^2{c}^2+p^2}\\ & E_b& =& m_0{c}^2\left(1+\frac{v_0^2}{c^2}\right)\\ & E_1& =& E_a-E_b\\ & & =& c\sqrt{{m_0}^2{c}^2+p^2}-m_0\left(c^2+v_0^2\right)\end{array}$ Die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ der gebremsten Bewegung nach der Flucht ist die Bahngeschwindigkeit $\lambda f$ Es kann zunächst keine Aussage darüber getroffen werden, ob die Funktion Nullstellen aufweist. Es ist nicht offensichtlich und also zu untersuchen. $\begin{array}{cccc}& m_0\left(c^2+v_0^2\right)& =& c\sqrt{{m_0}^2{c}^2+p^2}\\ & m_0^2{\left(c^2+v_0^2\right)}^2& =& m_0^2{c}^4+p^2{c}^2\\ & p^2& =& \frac{m_0^2{v}_0^2}{1-\frac{v_0^2}{c^2}}\\ & m_0^2{c}^4+2m_0^2{v}_0^2{c}^2+m_0^2{v}_0^2& =& m_0^2{c}^4+\frac{m_0^2{v}_0^2{c}^2}{1-\frac{v_0^2}{c^2}}\\ & 2+\frac{v_0^2}{c^2}& =& \frac{1}{1-\frac{v_0^2}{c^2}}\\ & \frac{2c^2+v_0^2}{c^2}& =& \frac{c^2}{c^2-v_0^2}\\ & 1& =& \frac{\left(2c^2+v_0^2\right)\left(c^2-v_0^2\right)}{c^4}\\ & & =& \frac{2c^4-v_0^4-v_0^2{c}^2}{c^4}\\ & & =& \frac{v_0^4}{c^4}+\frac{v_0^2}{c^2}\end{array}$ Formal gelöst erhält man für diese Gleichung vier Nullstellen: $\begin{array}{cccc}& v_{0_{1,2}}& =& \pm c\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\\ & v_{0_{3,4}}& =& \pm ic\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\end{array}$ Die Bewertung dieser Grenzgeschwindigkeiten im Detail soll an dieser Stelle entfallen. Tatsache ist, daß die Gleichungen aussagen, daß abhängig von der Bewegungsgeschwindigkeit eines Objektes von Diesem entweder Energie aufgenommen oder abgegeben wird. Die Energiemenge wiederum hängt davon ab, ob das Objekt in ein rotierendes Systzem eingefangen wird oder aus diesem flüchtet. Zumindest in experimentellen Befunden der physikalischen Chemie findet sich die Aussage wieder.

Ein zweiter Massendefekt entsteht wie beschrieben durch die Differenz zwischen Zentrifugal- und Zentripetalkraft bzw. die entsprechenden Energien. Hierzu muß etwas ausgeholt werden. Energien sind vektorielle Größen. Sie sind entsprechend zu addieren. Für ein in einem rotierenden System umlaufendes Objekt mit gegebener Masse muß die aus der Zentrifugalkraft resultierende Energie und die Energie der Bremsung durch das Medium addiert werden. Das Ergebnis ist die Zentripetalenergie. Diese Überlegung mündet in zwei Konsequenzen:

• Die Fluchtbahn steht nicht senkrecht auf der Verbindungslinie zwischen umlaufendem Objekt und Rotationszentrum. Sie ist nicht exakt tangential sondern bildet eine Sekante.
• Die zentripetal wirkende Energie ist immer größer als die durch die Zentrifugalkraft induzierte Energie.

Wir bleiben beim Beispiel des Hammerwerfers. Es ist einsichtig, daß die im Seil aus der Zentrifugalkraft heraus gespeicherte Energie als Ansatz zu verwenden ist. Die Berechnung der Energie die durch die Bremsung am Medium erfolgt über einen vollen Umlauf des Objektes um das Zentrum⁷. Die Einflußgrößen aus der Strömung am Objekt werden in der Veränderlichen $\mu$ zusammengefaßt. Die Gleichung wird aus der Strömungsmechanik adaptiert. $\begin{array}{cccc}& E_a& =& m_0{\lambda }^2{f}^2\\ \text{(7)}& E_b& =& \mu {\lambda }^5{f}^4\end{array}$ Es sei angemerkt, daß die Veränderliche $\mu$ die Einheit $\frac{\text{kg}{\text{s}}^2}{{\text{m}}^3}$ tragen muß. Dabei ist erstaunlich, daß die Einheit gerade reziprok der der Gravitationskonstanten ist. $\begin{array}{cccc}& E& =& \sqrt{m_0^2{\lambda }^4{f}^4+{\mu }^2{\lambda }^{10}{f}^8}\\ \text{(8)}& & =& {\lambda }^2{f}^2\sqrt{m_0^2+{\mu }^2{\lambda }^6{f}^4}\end{array}$ Es handelt sich hier um die von der Zentripetalkraft zu induzierende Energie um eine stabile Rotation zu gewährleisten. Damit handelt es sich im Gegensatz zur mit (5) gemachten Aussage um die eigentliche, im Seil des Hammerwerfers gespeicherte Energie. Das bedeutet, daß der Rückstoß auf das Rotationszentrum bei der Flucht eines Objektes aus einem rotierenden System immer größer ist als die aus der Zentrifugalkraft resultierende Energie.

Der von der Wirkungslinie der Zentrifugalkraft und der Richtung der Flucht des Objektes eingeschlossene Winkel beträgt: $\begin{array}{cccc}& \alpha & =& arctan\frac{m_0}{\mu {\lambda }^3{f}^2}\end{array}$ Wobei wiederum eine seltsame Ähnlichkeit zu beobachten ist. Die Gleichung wird etwas umformuliert. $\begin{array}{cccc}& \lambda & =& 2\pi r\\ & \omega & =& 2\pi f\\ \text{(9)}& \alpha & =& arctan\left(\frac{\frac{1}{\mu }{m}_0}{r^2}\frac{1}{2\pi r{\omega }^2}\right)\end{array}$ Der erste der beiden Faktoren entspricht praktisch der Gleichung Fallbeschleunigung die ein Körper der Masse $m_0$ induziert wenn vereinfacht mit Beträgen gerechnet wird. Ob überhaupt und wenn dann welcher Zusammenhang hier tatsächlich besteht, kann an dieser Stelle nicht herausgearbeitet werden⁸.