Vom idealen Gas zum Masse-Energie-Aquivalent

Der Druck kann, auf Grund seiner Einheit, als spezifische Energie aufgefaßt werden. Mit dieser Grundannahme kann aus der Definition der Schallgeschwindigkeit im idealen Gas in einfachster Weise ein Zusammenhang zur von Einstein so genannten Ruheenergie hergestellt werden. Die kleine Gleichung — in der ich den eigentlich enthaltenen Isentropenexponenten ganz bewußt entfallen lasse — kann man umstellen und mit einem definieren Volumen erweitern, um aus einer spezifischen Energie die Energie zu berechnen, die gegebenen Volumen inne wohnt. $\begin{matrix} (1) & c & = & \sqrt{\frac{p}{ρ}} \\ p & = & ρ c^{2} \\ p V_{0} & = & ρ V_{0} c^{2} \\ (2) & E_{0} & = & m_{0} c^{2} \end{matrix}$ Die Dichte des Gases multipliziert mit einem definierten Volumen ist ganz zwangsläufig die Masse dieses Volumens. Auf der linken Seite der Gleichung kann nichts anderes stehen als die von Einstein so genannte Ruheenergie. Einerseits ergibt sich aus der Einheit, daß es sich um eine Energie handeln muß. Andererseits legt die Form fest, daß es sich um die Ruheenergie handelt.

Einen weiteren Puzzle-Stein erhält man aus Bernoullis Gleichung. Sie wird dazu genutzt aus der Differenz zwischen Staudruck und dynamischem Druck die Geschwindigkeit beispielsweise eines Flugzeuges zu berechnen. $\begin{matrix} (3) & v_{0}^{2} & = & \frac{2 (p_{1} - p_{0})}{ρ} \end{matrix}$ Will man nun damit die kinetische Energie des exemplarischen Flugzeuges erhalten, muß die Gleichung mit seiner halben Masse erweitert werden ¹. $\begin{matrix} E_{kin} & = & \frac{m_{0} (p_{1} - p_{0})}{ρ} \end{matrix}$ In die entstandene Gleichung wird nun (1) — nach $c^{2}$ aufgelöst — eingesetzt. $\begin{matrix} E_{kin} & = & m_{0} (c^{' 2} - c^{2}) \end{matrix}$

Wie ist diese Gleichung zu bewerten? Entsprechend der inneren Logik von (3) müssen sich eigentlich die beiden Schallgeschwindigkeiten $c$ und $c^{'}$ unterscheiden. Wegen der konstanten Dichte — nämlich der des Gases bei statischem Druck — und der verschiedenen herrschenden Drücke sind sie gemäß der Gleichung nicht identisch. Auf der anderen Seite muß man aber die Beobachtung einbeziehen. Die Schallgeschwindigkeit ändert sich praktisch nur durch die Temperatur des Gases. Das ist eine Aussage der Thermodynamik. Nun ändert sich zwar die Temperatur der Flugzeughülle deutlich meßbar, die der umgebenden Luft kann aber als durch die Reibungswärme weitestgehend unbeeinflußt angenommen werden. Sie wird in der Strömung ständig gegen neue, unbeinflußte und damit nicht erwärmte Luft ausgetauscht.

Eine andere Basis der Argumentation ist, daß ein Gas keinen höheren Druck haben kann, ohne gleichzeitig auch seine Dichte zu erhöhen. Mathematisch ist Bernulli's Gleichung völig korrekt. Physikalisch ergibt sich jedoch ein Widerspruch,

Bernoullis Gleichung ist also korrekt, aber nicht eineindeutig bezüglich der Interpretation, wodurch sie falsche Schlüsse provoziert. Wenn also die Schallgeschwindigkeit $c$ sich von $c^{'}$ nicht unterscheidet, bleibt nur übrig anzunehmen, daß die Masse nicht konstant ist. $\begin{matrix} E_{kin} & = & (m_{1} - m_{0}) c^{2} \\ (4) & = & Δ m c^{2} \end{matrix}$ Die Beziehung zwischen Energie und Masse kennen wir von dem Chemiker Aston in einem ganz anderen Zusammenhang. Er hat als erster entdeckt, daß chemische Verbindungen nach einer exothermen Reaktion leichter sind, als ihre Ausgangsstoffe in Summe.

Aus der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie $\begin{matrix} p & = & \frac{ρ \overline{v^{2}}}{3} \end{matrix}$ erweitert mit dem Volumen $\begin{matrix} (5) & p V_{0} & = & \frac{m_{0} \overline{v^{2}}}{3} \end{matrix}$ wird nun ein Zusammenhang zur kinetischen, die Trägheit repräsentierenden Energie des sich bewegenden Gasvolumens hergestellt. Die Gleichung ist in praktisch jedem Physik-Lehrbuch zu finden. Sie basiert auf der Vorstellung eines gasgefüllten Kastens. Durchschnittlich ein Drittel der im Volumen $V_{0}$ der Masse $m_{0}$ eingeschlossenen Gasteilchen bewegt sich auf je zwei sich gegenüberliegende Flächen zu und gibt einen Impuls ab.

Bewegt sich dieses geschlossene Gasvolumen — man kann sich auch einen Luftballon vorstellen — müssen demgegenüber anteilig alle drei Raumrichtungen einbezogen werden. Zwei drittel der Teilchen bewegen sich senkrecht zur Bewegungsbahn des Gesamtvolumens. Jeweils ein sechstel bewegt sich in bzw. entgegengesetzt der Bewegungsrichtung des Gesamtvolumens. Bei der Berechnung der Energie ist zu beachten, daß die Teilchen aus dem Gesamtvolumen nicht entweichen können. Aus diesem Grund summieren sich die Impulse aus Stoß und Rückstoß. Der Faktor $\frac{1}{2}$ , der der kinetischen Energie eigentlich eigen ist, verschwindet wegen der Verdopplung des Impulses. Er wird — mathematisch gesprochen — gekürzt. In der im Folgenden aufgestellten Gleichung ist berücksichtigt, daß sich das betrachtete Gasvolumen — der Ballon — sowohl auf einen Beobachter zu als auch von ihm weg bewegen kann. $\begin{matrix} E & = & \frac{2 m_{0} v_{0}^{2}}{3} + \frac{m_{0} {(\pm v_{0} + \sqrt{\overline{v^{2}}})}^{2}}{6} + \frac{m_{0} {(\pm v_{0} - \sqrt{\overline{v^{2}}})}^{2}}{6} \end{matrix}$ Ist $v_{0}$ positiv, bewegt sich das Gasvolumen auf den Beobachter zu. Andernfalls bewegt es sich von ihm weg. Im ersten Term entfällt diese Unterscheidung, weil die Geschwindigkeit des Gasvolumens quadriert wird. $\begin{matrix} E & = & \frac{m_{0}}{6} (4 v_{0}^{2} + \overline{v^{2}} + v_{0}^{2} \pm 2 v_{0} \sqrt{\overline{v^{2}}} + \overline{v^{2}} + v_{0}^{2} \mp 2 v_{0} \sqrt{\overline{v^{2}}}) \\ = & \frac{m_{0}}{3} (3 v_{0}^{2} + \overline{v^{2}}) \end{matrix}$ Durch gleichsetzen von (5) mit (2) — die jeweils beschriebene Energie und die Masse des Gasvolumens sind in beiden identisch — kann die mittlere quadratische Geschwindigkeit der Moleküle durch das Quadrat der Schallgeschwindigkeit ausgedrückt werden. Sie wird in die letzte Gleichung eingesetzt. $\begin{matrix} \overline{v^{2}} & = & 3 c^{2} \\ E & = & m_{0} (v_{0}^{2} + c^{2}) \\ (6) & = & m_{0} c^{2} (1 + \frac{v_{0}^{2}}{c^{2}}) \end{matrix}$ Die Energie eines Gasvolumens steigt mit der Bewegungsgeschwindigkeit. Der Grund dafür liegt darin, daß in Ruhe nur ein Teil der enthaltenen Gasmoleküle seine Wirkung in einer bestimmten Richtung entfaltet. In der Bewegung wirkt sich dagegen die Trägheit aller Moleküle in der Bewegungsrichtung aus. Die entstandene Gleichung ist der relativistischen Form nicht unähnlich. Es lohnt sich also, noch etwas genauer hinzusehen.

Mit Gleichung (6) wird die gesamte Energie eines abgeschlossenen Gasvolumens aus der Sicht eines externen Beobachters berechnet. Demgegenüber beschreibt (4) die kinetische Energie des Gasvolumens — oder eben des Luftballons — aus dessen „eigener Sicht“. Die Energie nach (2) ist hier nicht enthalten. Auch die beiden enthaltenen Schallgeschwindigkeiten sind prinzipiell verschieden. In (6) ist die Schallgeschwindigkeit enthalten, die im inneren des abgeschlossenen Gasvolumens gilt. Die Schallgeschwindigkeit im umgebenden Medium wird dagegen in (4) angesetzt. Es handelt sich nach Ursache wie Gehalt um unterschiedliche Energien. Deswegen kann nicht ohne weiteres eine Energiebilanz erstellt werden.

Der Beobachter wird bei einem Stoß durch den als Modell verwendeten Luftballon von dessen Reibung mit der umgebenden Luft nichts merken. Er wird allerdings einen zusätzlichen Impuls wegen der „virtuell“ vergrößerten Masse gemäß (6) — es muß die „Aufschlag“-Geschwindigkeit eingesetzt werden — „wahrnehmen“. Im Moment der Wechselwirkung — des „Aufschlages“ — wird eine Kraft, die zum Ausgleich der bremsenden Wirkung des umgebenden Mediums aufgewendet wird instantan zur Trägheitskraft². Das einzige, durch beide Beteiligten an einer Wechselwirkung wahrnehmbare Bindeglied ist die Masse³. Um die Massen für den übertragenen Impuls einfach zu addieren, ist noch ein wenig Vorarbeit notwendig. Dazu wird (2) in (6) eingesetzt. $\begin{matrix} c^{2} & = & \frac{E_{0}}{m_{0}} \\ E_{a} & = & m_{0} c^{2} (1 + \frac{m_{0} v_{0}^{2}}{E_{0}}) \end{matrix}$ Führt man die Substitution im Term vor der Klammer ebenfalls durch, entsteht wieder genau der gleiche Ausdruck. Sie ist überflüssig. $\begin{matrix} E_{0} E_{a} & = & E_{0} m_{0} c^{2} + m_{0}^{2} v_{0}^{2} c^{2} \end{matrix}$ Die Gleichung muß weiter betrachtet werden. Sie besteht auf der rechten Seite aus zwei Teilen. Zum einen beinhaltet sie die Ruheenergie und zum anderen die kinetische Energie. In den Term der Ruheenergie darf nicht eingegriffen werden. Er wird durch die Bewegung nicht beeinflußt also ist hier auch lediglich die Ruhemasse wirksam. In den Term der Energie aus der Bewegung heraus ist aber die Massedifferenz durch die antreibende Kraft einzufügen. An dieser Stelle darf nicht einfach die Ruhemasse stehen. Hier muß die tatsächlich wirkende träge Masse eingesetzt werden. $\begin{matrix} m & = & m_{0} + Δ m \\ p & = & m v_{0} \\ E_{r}^{2} & = & m_{0}^{2} c^{4} + p^{2} c^{2} \\ (7) & E_{r} & = & c \sqrt{m_{0}^{2} c^{2} + p^{2}} \end{matrix}$

Damit ist das Einstein’sche Masse-Energie-Äquivalent entstanden. Die hier — wir sind nach wie vor bei der kinetischen Gastheorie — enthaltene Schallgeschwindigkeit ist die, die im Inneren des abgeschlossenen Gasvolumens gilt. Die Schallgeschwindigkeit im umgebenden Medium ist durch die Massedifferenz sozusagen anonymisiert.

Aus der Herleitung ist nun ersichtlich, welche Mechanismen dem zu Grunde liegen. Einerseits ist die Energie eines ruhenden Gasvolumens enthalten, andererseits der Gesamtimpuls aus der Bewegung. In beiden Fällen geben die Gasmoleküle ihren Impuls immer doppelt — durch Stoß und Rückstoß — weiter. Sie werden „reflektiert“. Es findet kein Masse-Austausch zwischen dem abgeschlossenen Gasvolumen und dem umgebenden Gas statt.

Die resultierende Energie wurde von mir als numerisch unbekannt bezeichnet. Impuls und Energie stehen aber in einem bestimmten Zusammenhang. Solange das abgeschlossene Gasvolumen nicht in irgend einer Art und Weise expandieren kann, wird es einen elastischen Stoß vollführen. Deswegen wird jeder die „virtuell“ vergrößerte Masse bei einem Stoß als die Energie des stoßenden Gasvolumens begreifen. Die linke Seite der Gleichung (7) kann dann — klassisch, in meiner Herleitung allerdings willkürlich — anders ausgedrückt werden. $\begin{matrix} \frac{p c^{2}}{v_{0}} & = & c \sqrt{m_{0}^{2} c^{2} + p^{2}} \end{matrix}$ Um hier kein falsches Bild entstehen zu lassen: Der Impuls aus der Trägheit des sich bewegenden Gasvolumens dividiert durch die Geschwindigkeit dieses Gasvolumens ist die wirksame, träge Masse des Gasvolumens. Um daraus eine Energie zu erhalten, muß diese Masse mit dem Quadrat einer Geschwindigkeit multipliziert werden. Das ist nicht mehr und nicht weniger als eine Forderung der Mathematik zur Einhaltung korrekter Einheiten. $\begin{matrix} m_{0}^{2} & = & \frac{p^{2}}{v_{0}^{2}} + \frac{p^{2}}{c^{2}} \\ (8) & m & = & \frac{m_{0}}{\sqrt{1 + \frac{v_{0}^{2}}{c^{2}}}} \end{matrix}$