Emission durch eine Membran

Betrachten wir zunächst den etwas anschaulicheren zweiten Teil der Wellenerscheinung erregt durch eine Membran: Die Erhöhung der mittleren Quadratischen Geschwindigkeit der Teilchen im Gas. Dazu wird die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie herangezogen. $\begin{matrix} p & = & \frac{ρ \overline{v^{2}}}{3} \end{matrix}$ Erweitert mit einem definierten Volumen $V_{0}$ : $\begin{matrix} E & = & \frac{m_{0} \overline{v^{2}}}{3} \end{matrix}$ Es sei angemerkt, daß die hier enthaltene Masse alles andere als vorstellbar ist. Es handelt sich um die Masse einer Schicht von Teilchen die mit der Membran zu einem gegebenen Zeitpunkt interagieren. Diese Masse ist bestenfalls aus der mittleren freien Weglänge der Teilchen und der Fläche der Membran statistisch zu berechnen. Im Weiteren wird sich aber zeigen, daß es auf die exakte Bestimmung dieser Masse auch nicht ankommt. Nichts desto weniger ist sie ein notwendiger Bestandteil einer energetischen Größe.

Für die Zusammensetzung der Gesamtgleichung ist ein wenig gedankliche Vorarbeit zu leisten. Die Membran möge in $z$ -Richtung ausgelenkt werden. Dann bewegen sich $\frac{2}{3}$ der Teilchen in $x$ - bzw. in $y$ -Richtung parallel zur Membran. Diese Teilchen erhalten die Energie $\frac{m_{0} v^{2} (t)}{2}$ in $z$ -Richtung. Darüber hinaus ist nur die Hälfte dieser Teilchen an der Übertragung einer Schwingung beteiligt, da sie nur dann angestoßen werden solange sich die Membran auf sie zu bewegt. Die Teilchen die sich von der Membran weg in z-Richtung bewegen erhalten keinen zusätzlichen Energiebetrag. Ihre Geschwindigkeit ist immer höher als die der Membran⁴.

Es sind also in dieser Richtung nur die Teilchen mit Stoß und Rückstoß zu betrachten, die sich auf die Membran zu bewegen. Die resultierende Gleichung muß also wie folgt aussehen: $\begin{matrix} (2) & E (t) & = & \frac{2 m_{0} v^{2} (t)}{6} + \frac{m_{0} {(v (t) + \sqrt{\overline{v^{2}}})}^{2}}{6} \end{matrix}$ Die Gleichung beschreibt die Energie die von der Membran an die Teilchen des von der Membran verdrängten Gasvolumens der Masse $m_{0}$ abgegeben wird. Die Geschwindigkeit mit der sich dieses Gasvolumen von der Membran weg bewegt ist die Maximalgeschwindigkeit der Membran. Diesem als Strömung zu bezeichnenden Phänomen ist überlagert, daß sich die Teilchen innerhalb dieser Strömung zusätzlich mit einer höheren als der mittleren quadratischen Geschwindigkeit bewegen. Beide Phänomen sind voneinander völlig unabhängig.

Wegen $c^{2} = \frac{p}{ρ}$ wissen wir, daß $3 c^{2} = \overline{v^{2}}$ Damit kann die mittlere quadratische Geschwindigkeit in (2) substituiert werden. In die daraus entstehende Gleichung wird (1) eingesetzt. $\begin{matrix} E (t) & = & \frac{2 m_{0} v^{2} (t)}{6} + \frac{m_{0} {(v (t) + \sqrt{3} c)}^{2}}{6} \\ = & \frac{m_{0}}{6} [8 π^{2} f^{2} l_{0}^{2} {cos}^{2} (2 π f t) + {(2 π f l_{0} cos (2 π f t) + \sqrt{3} c)}^{2}] \end{matrix}$

Bis jetzt wurde nicht geklärt, wie sich die Energie auf den abgegebenen Schall und die langsamere Strömung verteilt. Um das zu klären muß auf (2) zurückgegriffen werden. Es ist bekannt, daß die Schallgeschwindigkeit und die mittlere Quadratische Geschwindigkeit der Teilchen in einem Gas in einem festen Verhältnis zueinander stehen. Wir dürfen also folgern, daß nur der rechte Term der Summe in (2) die Schallabgabe der Membran beschreibt. Der linke Term beschreibt eine praktisch nicht zu vermessende⁵ Größe der Energie in einer Strömung. Beide Terme werden also gesondert nach der Zeit abgeleitet um eine momentane Leistung zu erhalten. Daß die Summe der Ableitungen gleich der Ableitung der Summe ist, sollte hinreichend bekannt sein. $\begin{matrix} P_{v} (t) & = & - \frac{8 π^{3} f^{3} l_{0}^{2} m_{0} sin (4 π f t)}{3} \\ P_{a} (t) & = & - \frac{4 π^{2} f^{2} l_{0} m_{0} sin (2 π f t) (\sqrt{3} c + 2 π f l_{0} m_{0} cos (2 π f t))}{3} \end{matrix}$

Um von dieser momentanen Leistung auf eine Energie zu kommen, müssen beide Gleichungen über eine Periode integriert werden. Dies kann aber aus gutem Grund nicht in einem Gang geschehen. Durch die enthaltenen Winkelfunktionen käme dabei schlicht $0$ als Ergebnis heraus. Es ist also getrennt über je eine halbe Periode zu integrieren und die jeweiligen Beträge zu addieren. Hierbei stellt sich wiederum das Problem der Bewegungsrichtung der Membran. In der ersten und der letzten viertel Periode bewegt sich die Membran in eine Richtung. Im zweiten und dritten viertel dagegen in die andere Richtung. Entsprechend sind die Integrationsgrenzen zu setzen. $\begin{matrix} E_{v} & = & \int_{0}^{\frac{1}{4 f}} P_{v} (t) ⅆ t + \int_{\frac{1}{f}}^{\frac{3}{4 f}} P_{v} (t) ⅆ t \\ (3) & = & - \frac{8 π^{2} f^{2} l_{0}^{2} m_{0}}{3} \\ E_{a} & = & \int_{0}^{\frac{1}{4 f}} P_{a} (t) ⅆ t + \int_{\frac{1}{f}}^{\frac{3}{4 f}} P_{a} (t) ⅆ t \\ (4) & = & - \frac{4 π f l_{0} m_{0}}{3} (\sqrt{3} c + π f l_{0}) \end{matrix}$ Es ist hier der Fall der Halbwelle gezeigt, bei der Energie abgegeben wird. In der anderen Halbwelle kehrt sich lediglich das Vorzeichen um. Dies gesondert aufzuschreiben wäre trivial. Allerdings ist zum Vorzeichen selbst etwas zu sagen. Die Energie ist eine vektorielle Größe was sich daraus ergibt, daß eine Geschwindigkeit in die Berechnung einfließt. Das Vorzeichen gibt daher die Richtung der Energieabgabe an. Da nur die Teilchen berücksichtigt sind, die sich auf die Membran zu bewegen während diese erregt wird, kann die Energieabgabe nur in die entgegengesetzte Richtung erfolgen.